第05讲 均值-方差分析

5.1 引言

• 从马科维茨均值-方差分析衍生出来的资本资产定价模型(CAPM)给出了确定资产贴现率的系统方法, 从而也给出了资产定价的一个严谨理论框架

  在以前思考投资时, 往往聚焦到单一资产的特性上; 但马科维茨投资组合选择的思路并不仅着眼于一两个单独的资产, 而是将所有可选资产看作一个整体, 研究怎样组合这些资产使得在为投资者创造最大回报的同时, 还将风险降至最低

  选择(不管是对单一资产还是对投资组合)的标准有两个, 一个是回报, 一个是风险, 前者用资产的平均回报率(mean, 或者说期望回报率)来衡量, 后者则用资产回报率的波动晨读, 也就是回报率的方差(variance)来衡量, 这是马科维茨的理论被称为均值-方差分析的原因

• 在应用时, 为了方便分析, 将不同资产的均值-方差状况描绘在以标准差为横轴, 回报率均值为纵轴的坐标平面上

  标准差也叫波动率(volatility), 横轴使用标准差是为了与纵轴单位一致

5.2 对均值和方差的解释

5.2.1 资产回报率

• 无风险资产当前的价格应该高于风险资产当前的价格

  5.2.2 事前回报率和事后回报率

• 事前回报率和事后回报率的最大差异在于是否存在不确定性

  事前回报率又被称为期望回报率, 用资产未来的期望回报除以资产当前价格再减1后得到

  惯例用来代表无风险回报率(无风险利率)

• 风险溢价

  风险溢价(risk premium)是风险资产的期望回报率超出无风险资产回报率的部分, 是对风险资产持有者承担风险的补偿

  风险溢价使用期望回报率(事前回报率)之差来计算的, 对事后回报率不能谈风险溢价

  在期望回报给定后, 只要再找出期望回报率, 就能得到资产现在的价格, 这里的期望回报率就是贴现率

  由于无风险回报率在现在就确定可知, 所以风险资产定价的关键是找出其风险溢价, 有了风险溢价, 就有了期望回报, 也就有了资产价格

  5.2.3 事后回报率均值与期望回报率

• 期望回报率是对资产未来回报率的预估

  但在现实中, 往往用一类资产过去实现的事后回报率来预测其未来回报率; 虽然分析的数据都是事后回报率的均值和方差, 但实际关心的是期望回报率(事前回报率), 以及期望回报率中包含的风险溢价

  5.2.4 方差与风险

• 风险的本质是不确定的未来

  假设投资者确知了资产A未来三年的回报率, 所以尽管这种资产未来的回报率仍然会有波动, 但它们本身已经没有不确定性了

• 无风险回报率的本质特征是它在未来没有不确定性

  当买入无风险资产时, 可以精确预期其未来会实现的回报率

  因此在期望-波动率(均值-标准差)坐标系上, 会把代表无风险回报率的点画在纵轴上, 以表示其波动率是0

  而如果是一个风险资产, 其未来的回报率是一个随机变量, 对应的概率密度函数的波动率不是0, 由于未来一个随机变量的概率密度函数是不可能知道的, 所以在均值方差分析的计算中, 用过去历史数据计算出来的波动率代替了本该对应未来概率密度函数的波动率, 但这并不代表历史的波动率就是我们所关心的风险

  5.2.5 均值、方差和标准差的数学描述

• 有某资产过去 个时期的回报率观测值, 这里的回报率显然都是事后回报率, 那么均值-方差分析中用的回报率均值就是这个观测值的平均数, 即

  $$\bar{r} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} r_i$$

  而回报率方差的计算公式是

  $$\sigma^2_r = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (r_i - \bar{r})^2$$

  方差的平方根就是标准差, 或者叫做波动率

  $$\sigma_r = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (r_i - \bar{r})^2}$$

  如果有两种资产, 回报率分别为与, 那么这两种资产回报率的协方差为

  $$\sigma_{xy} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

  可以把协方差标准化为相关系数, 计算方式为

  $$\rho_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$$

  使用期望符号 可将均值、方差、协方差的哦那个是简单地写为

  $$\bar{r} = E(r) , \sigma^2_r = E(r - \bar{r})^2, \sigma_{xy} = E(x - \bar{x})(y - \bar{y})$$

  从严格意义上来说, 期望是对未来做出的, 因此将其写成数学公式后, 应该这样表示

  $$E(r) = \sum_{j=1}^{M} p_jr_j$$

  其中 是未来状态, 是未来第 种状态发生的概率, 是对应的回报率

  这与 显然不是一回事, 但是我们认为只要过去的模式会在未来不断重复出现, 那么用过去的事后回报率的历史数据计算出来的均值就应该与未来回报率的期望值很接近

  5.2.6 幸存者偏差

• 在观察过去的历史数据时, 我们没有看到巨灾状态的发生, 因为那些遭遇了巨灾状态的资产已经退出资本市场了

  但是由于我们过去只是观察到了两种状态的可能, 所以巨灾状态这种潜在可能的发生对我们来说还是 “新事物”

• 尽管在金融分析中必须要假设过去会在未来重演, 但我们对这种假设要时时警惕, 随时注意关注过去与未来发生 “断裂” 的可能

  5.3 资产组合的均值-方差特性

• 均值-方差分析的核心内容: 分析资产组合

• 资产组合

  由多种资产组合起来的一个资产集合

  组合的回报和风险特征必然会受到组合中各个资产的回报和风险特性的影响

  数学定义: 资产组合是投资者财富在多种资产上的分配状况

  • 组合用财富在不同资产上配置的比例来刻画

  • 比如一个组合将财富分配在中资产上, 这个组合可以记为一个 元组 (), 其中任意一个元素 是财富分配在第 种资产上的比例, 分配在所有资产上的财富比例之和应该为1, 即

    $$\sum_{i = 1}^{n} \omega_i = 1$$

    一般情况下, 除了上式外, 对比例 不作约束(可正可负也可0), 如果一个资产对应的比例为负数, 则说明投资者在做空这种资产

    5.3.1 一种无风险资产和一种风险资产的组合

• 无风险资产是指回报率完全确定的资产

  一般来说, 没有信用风险(credit risk) 的固定收益类 (fixed income) 资产可被视为无风险资产, 比如国债

  认为无风险资产的回报率的波动为0, 因而其回报率是一个常数

• 假设无风险资产和风险资产的回报率分别为 和 , 风险资产回报率的均值和标准差分别为 与

  由于无风险资产回报率为常数, 所以它与任何风险资产回报率的协方差都是0

  假设投在无风险资产和风险资产上的财富份额分别为 与 , 则组合的均值和方差分别为

  $$\begin{aligned} \bar{r}_p &= E[(1 - w)r_f + w r_s] \\ &= (1-w)E(r_f) + wE(r_s) \\ &= (1 - w)r_f + w\bar{r}_s \\ &= r_f + w(r_s - r_f) \\ \sigma^2_p &= E[(1 - w)r_f + w r_s - (1 - w)r_f - w\bar{r}_s]^2 \\ &= E[w r_s - w\bar{r}_s]^2\\ &= w^2E(r_s - \bar{r}_s)^2\\ &= w^2\sigma_s^2 \end{aligned}$$

  随着 从0变化到1, 可在组合的均值-标准差坐标系上画出一条连接无风险资产和风险字长的线段, 如果允许(允许以无风险利率借入资金来购买风险资产), 该线段还会向右方延伸, 容易算出这条线的公式为

  $$\bar{r}_p = r_f + \frac{\bar{r}_s - r_f}{\sigma_s}\sigma_p$$

  

  5.3.2 两种风险资产的组合

• 假设两种风险资产的回报率分别为 与 , 回报率均值分别为 与 , 回报率标准差分别为 与 , 回报率的协方差为

  投在两种资产上的份额分别为 与 , 则组合的期望回报率为

  $$\bar{r}_p = E(r) = w\bar{r}_1 + (1 - w)\bar{r}_2$$

  组合的回报率方差为

  $$\begin{aligned} \sigma^2_p &= E[wr_1 + (1-w)r_2 - w\bar{r}_1 - (1 - w)\bar{r}_2]^2\\ &= E[w(r_1-\bar{r}_1) + (1-w)(r_2-\bar{r}_2)]^2\\ &=w^2E(r_1 - \bar{r}_1)^2 + 2w(1-w)E[(r_1 - \bar{r}_1)(r_2 - \bar{r}_2)] +(1 - w)^2E(r_2 - \bar{r}_2)^2\\ &=w^2\sigma_1^2 + 2w(1-w)\sigma_{12} + (1-w)^2\sigma_{2}^2\\ \end{aligned}$$

  随着 从0变化到1, 组合在均值-标准差坐标系上画出一条连接两个资产的双曲线, 如果允许卖空风险资产( 可能小于0或者大于1), 组合的曲线可以向两端延伸

  

  曲线的最左侧点通过组合所能达到的最小波动率, 这个组合被称为最小方差组合, 可以求出最小方差组合中两类资产的权重, 一阶条件为

  $$\begin{aligned} \frac{\partial \sigma^2_p}{\partial w} &= 0 \\ 2\sigma_1^2 w - 2\sigma_2^2(1 - w) + 2\sigma_{12}(1-w) - 2\sigma_{12}w &= 0 \\ 2\sigma_1^2 w - 2\sigma_2^2(1 - w) + 2\sigma_{12} - 4\sigma_{12}w &= 0 \\ 2(\sigma_1^2 + \sigma_2^2) w - 2\sigma_2^2 + 2\sigma_{12} - 4\sigma_{12}w &= 0 \\ (\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_{12}) w - \sigma_2^2 + \sigma_{12} &= 0 \\ w^* = w&= \frac{\sigma_2^2 - \sigma_{12}}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_{12}} \\ \end{aligned}$$

  将权重代入组合期望回报率公式, 可以得到最小方差组合的均值为

  $$\begin{aligned} \bar{r}_p^* &= w^*\bar{r}_1 + (1 - w^*)\bar{r}_2 \\ &= \frac{\sigma_2^2 - \sigma_{12}}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_{12}}\bar{r}_1 + \frac{\sigma_1^2 - \sigma_{12}}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_{12}}\bar{r}_2\\ &= \frac{\sigma_2^2\bar{r}_1 + \sigma_1^2\bar{r}_2 - \sigma_{12}(\bar{r}_1 + \bar{r}_2)}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_{12}}\\ \end{aligned}$$

  在组合两种风险资产时, 两种风险资产之间的相关系数越低, 能通过组合达到的最小波动率则越低, 两种资产完全负相关时, 可以通过适当选择组合权重, 完全消除组合回报率的波动性

  

  • 分散化投资

    通过将彼此之间不完全正相关的资产组合在一起, 可以有效地降低回报率的波动性

    如果把市场上所有可得的资产都放在一起, 就能在最大程度上实现风险的分散

5.3.3 多种风险资产组合的有效前沿

• 如果不止存在两种风险资产, 投资组合的回报和风险状况就变成一片区域

  这片区域的边界决定了组合所能得到的最优回报和风险配对

  

• 假设存在三种风险资产, 回报率分别为, 回报率均值分别为 , 回报率标准差分别为

为简化分析, 假设这三种资产的回报两两之间都不相关, 在三种资产上配置的权重分别为, 则资产组合的期望回报率为

$$\bar{r}_p = w_1 \bar{r}_1 + w_2 \bar{r}_2 + w_3 \bar{r}_3$$

组合的回报率方差为

$$\sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + w_3^2 \sigma_3^2$$

给定一个回报率均值的要求 , 选择组合权重来最小化组合回报率方差, 形成一个最优化问题:

$$\begin{aligned} \underset{w_1, w_2, w_3}{\min} & w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + w_3^2 \sigma_3^2 \\ s.t. \quad & w_1 \bar{r}_1 + w_2 \bar{r}_2 + w_3 \bar{r}_3 = \bar{r} \\ & w_1 + w_2 + w_3 = 1 \end{aligned}$$

构建拉格朗日函数

$$\begin{aligned} \mathcal{L}(\overrightarrow{w}, \lambda, \mu) = & w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + w_3^2 \sigma_3^2\\ & + \lambda (w_1 \bar{r}_1 + w_2 \bar{r}_2 + w_3 \bar{r}_3 - \bar{r})\\ & + \mu(w_1 + w_2 + w_3 - 1) \end{aligned}$$

一阶条件为

$$\begin{cases} &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_i} = 0 \Rightarrow 2\sigma_i^2 w_i + \lambda \bar{r}_i + \mu = 0\\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0 \Rightarrow w_1 \bar{r}_1 + w_2 \bar{r}_2 + w_3 \bar{r}_3 - \bar{r} = 0\\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mu} = 0 \Rightarrow w_1 + w_2 + w_3 - 1 = 0\\ \end{cases}$$

五个等式, 五个未知数, 可以对任意 计算出最优的组合权重以及对应的组合的波动率 , 这样就可以得到边界的数学公式

• 结论

  在均值-标准差坐标系上, 多种风险资产的组合区域边界是开口向右、上下对称的双曲线, 这条双曲线的上半边被称为投资组合的有效前沿

  由于波动率相等时, 处在有效前沿(双曲线的上半支)上的组合有最高的期望回报率, 所以理性投资者应该只选择处在有效前沿上的组合

• 无差异曲线

  由于投资者既偏好更高的期望回报率, 又偏好更低的波动率, 所以投资者的无差异曲线在均值-标准差坐标系就是向上倾斜的曲线

  在均值-标准差坐标系中, 投资者风险偏好度越低(风险厌恶度越高), 其无差异曲线就越靠左

  

• 投资组合的选择

  把无差异曲线和有效前沿放在一起, 二者的切点就是投资者会选择的投资组合

  直观来看, 更加厌恶风险的投资者会选择期望回报率和波动率都更小的投资组合

  

  5.4 市场组合与共同基金定理

  • 前文推导过一种无风险资产和一种风险资产的组合是一条起点为无风险资产的射线, 因此, 无风险资产和多种风险资产所有可能组的组合就是从无风险资产出发, 穿过风险资产组合可能范围的射线簇

  在这些射线中, 与双曲线上半支相切的射线有最高的期望回报率, 这条射线就是包含无风险资产的组合有效前沿 (有效前沿由一条双曲线变成了一条射线)

  这条射线型的有效前沿在金融学中的名字叫作资本市场线(capital market line, )

  资本市场线与双曲线的切点就是市场组合, 一般用字母 来指代

  

  如果市场组合的期望回报率为 , 波动率为 , 则资本市场线的公式为

  $$\bar{r} - r_f = \frac{\sigma}{\sigma_M}(\bar{r}_M - r_f)$$

  理性的投资者之应该选择处在 上的投资组合, 而 上的所有投资组合都可以由市场组合和无风险资产组合得到, 也就是说, 所有投资者, 不管偏好如何, 都应该以市场组合的形式持有风险资产, 偏好只是决定其将财富的多大比例投资在无风险资产上, 多大比例投资在市场组合上

• 在市场组合中, 各类风险资产的权重取决于其期望回报率、方差和协方差, 因此有可能出现某些资产计算出的配置权重小于其在现实世界资本市场中的比重(可能为0), 如果人人都以市场组合来持有风险资产, 就会出现计算出的配置权重偏小的资产由供大于求的问题, 使得减小配置权重不能实现

  因此, 投资经理在设置市场组合时可以分两步完成

  • 第一步, 基于各种风险资产的回报和风险特征, 构建出市场组合

    在这一步可以完全不考虑客户的偏好

  • 第二步, 根据客户的偏好, 将客户的资产在无风险资产和市场组合之间进行配置

  这一方法就是金融学中共同基金定理(mutual fund theorem)所阐述的内容

• 共同基金定理又被称为共同基金分离定理(mutual fund separation theorem)、两基金分离定理(two-fund separation theorem), 或者简单称为分离定理

  两点需要说明

  • 第一, 尽管是在包含无风险资产的情况下推导出了共同基金定理, 但其实在没有无风险资产而只有风险资产时, 共同基金定理也成立, 只不过内容变成: 任何有效前沿上的组合均可以由两个处在有效前沿上的组合得到

  • 第二, 共同基金定理为共同基金行业奠定了理论基础, 这是这个定理名称的由来

    共同基金定理说明, 不管投资者的风险偏好如何, 都应该持有相同的风险资产组合, 其风险偏好之决定把财富的多大比例放到风险资产组合上

    所以资产组合的构建就不是个性化的事, 而是一个可以标准化的产业