第06讲 资本资产定价模型 (CAPM)

6.1 从组合选择到市场均衡

• 市场组合 是什么样的?

  市场组合 应该包含所有的风险资产, 甚至包括诸如房地产、人力资本这样极少在市场上交易的资产, 而 中各类资产的权重就是世界上各类风险资产价值占所有风险资产价值的比率

  即市场组合就是包含了所有风险资产的整个市场, 其中的关键是资产的回报和风险状况并非一成不变, 而是会根据资产的供求状况来调整, 以保证各类资产市场都出清 (供需相等), 从这里, 讨论就从均值-方差分析的个人选择层面, 进入了对市场是否出清, 即经济是否达到均衡

• 均衡

  简单来说就是所有人都和谐地做到了最好

  • 所有人都实现了自己的理性

  • 所有人的最优行为融洽并存

  定义虽然简单, 结论却很强: 现实世界无时无刻不处在均衡之中, 因为如果没有人做到最好, 那他必然有偏离当前状态的冲动; 而如果不同人的行为不相容, 那在逻辑上就不可能发生

  一种所有人相互联系的状态: 所有人在此状态中都和谐地实现了自己的最优, 每个人的最优由每个人的理性所保证, 而个人行为之间的和谐则由价格的调整来实现

回到均值-方差分析, 如果计算出的市场组合与市场构成不一致, 那么一定意味着某些资产市场没有出清—供过于求或是供不应求, 从而引发价格调整,即 如果市场组合与整个市场不同, 那么某些资产的供需一定不平衡, 从而必然引发价格调整, 最终使得市场组合一定等同于整个市场

在均衡的时候, 资产价格会不会满足什么特别的规律? 由夏普首创的资本资产定价模型: 均衡时不同资产的期望回报率满足一种线性关系

6.2 讨论CAPM的准备行讨论

1. CAPM的核心结论：CAPM表明在均衡状态下, 不同资产的期望回报率之间存在线性关系

   推导CAPM的思路是以市场已达到均衡为前提, 论证资产期望回报率在均衡时应满足的条件

2. 市场均衡与投资者行为：当市场达到均衡时, 所有投资者都应构建对自己最有利的资产组合

   根据均值-方差分析, 所有投资者应以市场组合的方式持有风险资产, 因为这是对投资者最有利的组合

   在均衡时, 投资者没有动力偏离市场组合, 这意味着持有其他组合不会带来更高的效用, 且市场组合提供了最佳的回报和风险状况

3. 资产价格与期望回报率的关系：资产定价理论研究的是在给定资产未来回报预期的情况下, 确定资产当前的价格

   资产当前价格与期望回报率是相互关联的：价格越高, 期望回报率越低；价格越低, 期望回报率越高

   因此, 资产定价问题也可以描述为在给定回报预期的情况下, 确定资产的期望回报率

4. 历史回报率与期望回报率的关系：理论上, 投资者应基于资产的期望回报率来构建资产组合

   然而, 期望回报率通常难以直接刻画, 因此在实际操作中, 投资者使用资产过去回报率的均值和方差作为分析的起点

   这隐含了一个假设：资产的期望回报率应与过去回报率的均值相近

5. 均值-方差分析与CAPM的关系：在均值-方差分析中, 投资者基于对未来回报率的预测构建资产组合, 并得出所有投资者应持有相同市场组合的结论

   而在CAPM中, 利用均值-方差偏好下的最优组合结论作为前提, 推导资产期望回报率应满足的关系

   这引发了一个“先有鸡还是先有蛋”的问题：期望回报率既是均值-方差分析的前提, 也是其结论

6. 均衡分析的特点：在均衡分析中, 所有因素同时被决定

   例如, 在CAPM中, 期望回报率和投资者的组合构建行为相互影响, 最终实现市场出清的均衡

   这种均衡状态下, 因果关系是双向的, 类似于市场供求关系中的供给和需求同时被决定

6.3 CAPM的第一种论证

6.3.1 CAPM的假设

• 引入的假设

  • 没有交易成本(佣金、买卖价差等)
  • 没有税收
  • 所有资产都可以任意交易, 并且无限可分
  • 完全竞争, 即所有人都是价格的接受者, 没有影响价格的能力
  • 所有人都以均值-方差的方式选择资产组合, 即偏好更高的期望回报率, 以及更低的波动率
  • 所有资产都可以任意买空卖空
  • 一致预期, 即所有人针对相同的时间区间 (第1期) 考虑投资问题, 并对资产的期望回报率和波动状况 有相同的预期

• 假设1-4是对市场所做的简化假设, 5-7合起来意味着所有人都会考虑均值方差组合优化问题, 并且以同样的组合权重来持有风险资产(并没有假设所有人的风险偏好都是一样的, 所以不同人在无风险资产和市场组合之间的财富分配比例时不一样的, 但是只要持有风险资产, 就一定是以市场组合的形式的)

6.3.2 基于效用函数的CAPM论证

有多种方法可以推导出CAPM定价方程, 这一节是一种比较直观的方法

假设一个投资者的偏好由如下效用函数刻画:

$$u(r) = E(r) - A\sigma^2(r)$$

其中, 是衡量风险厌恶程度的一个恰当的常数( 严格大于0以确保投资者是风险厌恶的), 使得这个投资者在均衡时只持有市场组合, 而完全不持有无风险资产(这个假设只是为了简化后文的推导)

在这个投资者已持有市场组合 的前提下, 如果让他将投资在 上资产的一小部分(设为)投资到其他任意一种资产 上, 将新组合叫作组合 , 组合 带给投资者的效用为

$$\begin{aligned} u(r_p) &= u[wr_i + (1-w)r_M]\\ &=E[wr_i + (1-w)r_M] - A\sigma^2[wr_i + (1-w)r_M]\\ &=wE(r_i) + (1-w)E(r_M) - A[w^2\sigma_i^2 + (1-w)^2\sigma_M^2 + 2w(1-w)\sigma_{iM}]\\ &=wE(r_i) + (1-w)E(r_M) - A(w^2\sigma_i^2 + \sigma_M^2 - 2w\sigma_M^2 + w^2\sigma_M^2 + 2w\sigma_{iM} - 2w^2\sigma_{iM})\\ &=wE(r_i) + (1-w)E(r_M) - Aw^2(\sigma_i^2 + \sigma_M^2 - 2w^2\sigma_{iM}) - 2Aw(\sigma_{iM} - \sigma_M^2) - A\sigma_M^2 \end{aligned}$$

可以计算出将 份额的财富从市场组合 转移到资产 上, 带给投资者的边际效用为

$$\frac{du(r_p)}{dw} = E(r_i) - E(r_M) - 2Aw(\sigma_i^2 + \sigma_M^2 - 2w^2\sigma_{iM}) -2A(\sigma_{iM} - \sigma_M^2)$$

由于 是投资者的最优选择, 所以在 处, 边际效用应该等于0, 即

$$\frac{du(r_p)}{dw}|_{w=0} = E(r_i) - E(r_M) -2A(\sigma_{iM} - \sigma_M^2) =0$$

由这个边际效用对任何一种资产都是0, 所以理应对无风险资产 也是0, 将 代入上式可得

$$r_f - E(r_M) + 2A\sigma_M^2 = 0$$

得到

$$A = \frac{E(r_M) - r_f}{2\sigma_M^2}$$

将由 计算得到的 回代, 可得

$$\begin{aligned} E(r_i) - E(r_M) -\frac{E(r_M) - r_f}{\sigma_M^2}(\sigma_{iM} - \sigma_M^2) &=0 \\ E(r_i) - E(r_M) + E(r_M) - r_f&= \frac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2}[E(r_M) - r_f]\\ E(r_i) - r_f&= \frac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2}[E(r_M) - r_f]\\ \end{aligned}$$

如果定义 , 则上式变形为常见的CAPM定价方程:

$$E(r_i) - r_f= \beta_i[E(r_M) - r_f]$$

这个式子表明, 均衡时, 所有资产的期望回报率之间存在一个线性关系: 自变量是各个资产的 , 斜率则是市场组合的超额回报率

6.3.3 对第一种论证的说明

上一节推导中, 引入了投资者的效用函数, 这可能产生一种怀疑: 这一证明是否依赖于这种特定函数的某些性质

所以接下来还会给出一个不引入效用函数的CAPM证明, 事实上, 对CAPM来说, 真正重要的假设是投资者用均值-方差来构造投资组合

同时, 与第一种论证不同, 给定任意一位投资者, 他的财富在无风险资产和市场组合上的权重分别为 与

6.4 CAPM的第二种论证

6.4.1 基于组合构建的CAPM论证

令 代表市场组合 . 在均衡时, 所有理性投资者所选择的资产组合都应该在资本市场线上, 容易得到 的公式为

$$E(r) = r_f + \frac{E(r_M - r_f)}{\sigma_M} \sigma$$

其中的 和 是资本市场线上任意一种组合的期望回报率和标准差. 可以用某一风险资产 和市场组合 构建出一个新的组合, 假设这个新组合中的资产 和市场组合的份额分别为 和 , 江浙各新组合的回报率记为 , 显然这是一个受到 影响的随机变量, 可以计算 的:

期望为

$$\begin{aligned} E(r_w) &= E[wr_i + (1-w)r_M]\\ &= wE(r_i) + (1-w)E(r_M) \\ &= w[E(r_i) - E(r_M)] + E(r_M) \end{aligned}$$

方差为

$$\begin{aligned} \sigma_{w}^2 & = \sigma^2[wr_i + (1-w)r_M]\\ &= w^2\sigma_i^2 + (1-w)^2\sigma_M^2 + 2w(1-w)\sigma_{iM}\\ &= w^2\sigma_i^2 + \sigma_M^2 - 2w\sigma_M^2 + w^2\sigma_M^2 + 2w\sigma_{iM} - 2w^2\sigma_{iM}\\ &= w^2(\sigma_i^2 + \sigma_M^2 - 2\sigma_{iM}) + 2w(\sigma_{iM} - \sigma_M^2) + \sigma_M^2\\ \end{aligned}$$

当 变化时, 构建的组合在 平面上画出一条穿过 和 的曲线. 当 时, 构建的组合就是市场组合 , 所以这条曲线与资本市场线相交于 处. 但是这条i按又不可能高于资本市场线 , 否则意味着通过资产 与市场组合 构建的组合可以达到比资本市场线更优的均值-方差组合, 从而与资本市场线的定义矛盾. 因此这条线只能与资本市场线相切与 处

因此, 这条曲线在这一点的斜率应该与资本市场线的斜率相等, 即

$$\frac{dE(r_w)}{d\sigma(r_w)} |_{w=0} = \frac{E(r_M) - r_f}{\sigma_M}$$

根据求导法则可以知道

$$\frac{dE(r_w)}{d\sigma(r_w)} = \frac{\frac{dE(r_w)}{dw}}{\frac{d\sigma(r_w)}{dw}}$$

而

$$\frac{dE(r_w)}{dw} = E(r_i) - E(r_M)$$ $$\begin{aligned} \frac{d\sigma(r_w)}{dw} = &\frac{1}{2}[w^2(\sigma_i^2 + \sigma_M^2 - 2\sigma_{iM}) + 2w(\sigma_{iM} - \sigma_M^2) + \sigma_M^2]^{-\frac{1}{2}}\\ &\times [2w(\sigma_i^2 + \sigma_M^2 - 2\sigma_{iM}) + 2(\sigma_{iM} - \sigma_M^2)]\\ \frac{d\sigma(r_w)}{dw}|_{w=0} = &\frac{\sigma_{iM} - \sigma_M^2}{\sigma_M} \end{aligned}$$

整理可以得到

$$\begin{aligned} \frac{dE(r_w)}{d\sigma(r_w)} |_{w=0} = \frac{\sigma_M(E(r_i) - E(r_M))}{\sigma_{iM} - \sigma_M^2} &= \frac{E(r_M) - r_f}{\sigma_M}\\ \Rightarrow \sigma_M^2E(r_i) - \sigma_M^2E(r_M)&= \sigma_{iM}E(r_M) - \sigma_{iM}r_f - \sigma_M^2E(r_M) + \sigma_M^2r_f\\ \sigma_M^2(E(r_i) - r_f) &= \sigma_{iM}(E(r_M) - r_f)\\ E(r_i) - r_f &= \frac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2}(E(r_M) - r_f)\\ \end{aligned}$$

如果定义 , 则上式变形为 CAPM 定价方程:

$$E(r_i) - r_f = \beta_i [E(r_M) - r_f]$$

6.4.2 夏普比及对第二种论证的说明

• 在第二种论证中, 我们是在分析是否可能通过将市场组合 与其他资产组合起来, 以获得高于市场组合的夏普比

• 夏普比

  一项资产(或是一个组合)的夏普比等于其风险溢价(期望回报率减去无风险利率)除以资产的标准差, 对于资产 来说, 其夏普比为

  $$SR_i = \frac{E(r_i) - r_f}{\sigma(r_i)}$$

  衡量了通过承担更多的风险(波动率)来获得更高期望回报的效率

  由于 和 都是无法观测的, 所以在金融实务中是使用过去的回报率均值和标准差来代替的:

  $$SR_i = \frac{\bar{r}_i - r_f}{\sigma_i}$$

  容易看出, 在所有由风险资产构成的组合中, 市场组合有最高的夏普比, 即资本市场线的斜率

• 均衡时, 所有投资者都持有市场组合(均值-方差分析的结论), 所以市场组合理应是市场中夏普比最高的资产, 如此也就推导出了均衡时资产价格之间的关系—CAPM定价方程

6.5 证券市场线与资本市场线

• CAPM表明不同资产的期望回报率之间存在线性关系: 越大的资产, 期望回报率应该越高

  理论上, 如果以 为横坐标, 资产期望回报率为纵坐标, 表征不同资产的点应该处在一条斜率为正的直线上, 这条直线就是证券市场线(securities market line, 简称), 证券市场线是 导出的可以被验证的数量结论

• 虽然看起来与 很类似, 名字也很像, 但表达的是不同的意思

  • 资本市场线 是在均值-标准差坐标系上的线, 表示由无风险资产和市场组合再组合之后能够实现的预期回报率和风险特征

  • 证券市场线 则是再均值- 坐标系上的直线, 表征的是不同资产的期望回报率随 变化而作线性变化的规律

  • 两者的公式分别为

    $$\begin{aligned} E(r_i) &= r_f + \frac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2}[E(r_M) - r_f] = r_f + \beta_i[E(r_M) - r_f]\\ E(r_i) &= r_f + \frac{\sigma_{i}}{\sigma_M}[E(r_M) - r_f] \end{aligned}$$

    两个公式具有类似的形式, 都是把资产的期望回报率表示为两部分:

    $$\begin{aligned} & 期望回报率 = 资金的时间价值(无风险利率) + 风险溢价\\ & 风险溢价 = 风险的度量 \times 风险的价格 \end{aligned}$$

    区别在于, 在 中, 风险用 度量, 风险的价格为 ; 而在CML中, 风险用 度量, 价格为

  从数学上来看, 与 同时成立, 但他们又把资产的期望回报率表现为不同的形式, 如何调和? 其关键在于, 这两个公式所应用的对象是不一样的:

  • 对所有资产都成立, 而 只对那些由所有资产(包括无风险资产及风险资产)组合起来的 “有效组合” 成立

    所以, 是一条对所有资产都成立的定价方程, 而 只是用来描述有效资产组合的 “辅助线”

  绘制一条证券市场线, 在这条线附近发布的有 四项风险资产, 他们在均值- 坐标系上呈线性排列

  在均值-标准差坐标系上, 绘制 四项风险资产, 它们都处在风险资产组合的双曲线边界内, 但未必会在一条直线上

  市场组合 会同时在证券市场线与资本市场线上, 在证券市场线上, 市场组合正好对应 , 证券市场线的斜率为 ; 而在资本市场线上, 市场组合 对应 这一点, 资本市场线的斜率为

  

6.6 一个数值算例

• 前文从均值-方差分析的最优组合问题, 推到了资产定价的 CAPM , 引出了资本市场线、证券市场线等概念, 在进一步讨论之前, 有必要用一个具体的算例将这些概念串联起来

• 假设资本市场中只有三种资产, 第一种是无风险资产, 支付无风险利率 3\%, 剩余两种资产和都是风险资产, 其期望回报率分别为 与 , 波动率分别为 和 , 两种资产的相关系数为

• 接下来求解这个市场的市场组合

  由于这个市场中只有两种风险资产, 所以市场组合一定由这两种风险资产构成, 假设一个组合中 和 的比重分别为 和 , 市场组合就应该是有最高夏普比率的组合

  组合的期望回报率为

  $$\bar{r}_p = E(r_p) = wE(r_A) + (1-w)E(r_B) = w\bar{r}_A + (1-w)\bar{r}_B$$

  这里我们把回报率的期望写成了回报率均值的形式, 这一点已经有过讨论

  组合的方差为

  $$\begin{aligned} \sigma^2_p &= E[wr_A + (1-w)r_B - w\bar{r}_1 - (1 - w)\bar{r}_2]^2\\ &= E[w(r_A-\bar{r}_A) + (1-w)(r_B-\bar{r}_B)]^2\\ &=w^2E(r_A - \bar{r}_A)^2 + 2w(1-w)E[(r_A - \bar{r}_A)(r_B - \bar{r}_B)] +(1 - w)^2E(r_B - \bar{r}_B)^2\\ &=w^2\sigma_A^2 + 2w(1-w)\sigma_{AB} + (1-w)^2\sigma_{B}^2\\ &=w^2\sigma_A^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B\rho_{AB} + (1-w)^2\sigma_{B}^2\\ \end{aligned}$$

  将已知条件带入两个公式中, 可以得到

  $$\begin{aligned} \bar{r}_p &= 0.06 + 0.04w\\ \sigma_p^2 &= 0.0112w^2 - 0.0032w + 0.0064 \end{aligned}$$

  组合 的夏普比为

  $$SR_p = \frac{\bar{r}_p - r_f}{\sigma_p}$$

  最优化问题可以写为

  $$\underset{w}{\max} \frac{(\bar{r}_p - r_f)^2}{\sigma_p^2} = \frac{(0.06 + 0.04w - 0.03)^2}{0.0112w^2 - 0.0032w + 0.0064}$$

  可以解出

  $$\begin{aligned} w &= 0.76\\ \bar{r}_p &= 0.09\\ \sigma_M &= 0.1 \end{aligned}$$

• 组合 与资产 的协方差分别为

  $$\begin{aligned} cov(r_p, r_A) &= cov[wr_A + (1-w)r_B, r_A]\\ &= wcov(r_A, r_A) + (1-w)cov(r_B,r_A)\\ &=w\sigma_{A}^2 + (1-w)\sigma_{AB} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} cov(r_p, r_B) &= cov[wr_A + (1-w)r_B, rB]\\ &= wcov(r_A, r_B) + (1-w)cov(r_B,r_B)\\ &=w\sigma_{AB} + (1-w)\sigma_{B}^2 \end{aligned}$$

  将 代入, 可以得到市场组合 与 两种资产的协方差分别为0.012与0.005, 进一步, 可以计算出 与 两种资产的 分别为 , 用CAPM 定价方程可以计算出

  $$\bar{r}_A = r_f + \beta_A(\bar{r}_M - r_f) = 0.03 + 1.159 \times (0.09 - 0.03) = 0.10\\ \bar{r}_B = r_f + \beta_B(\bar{r}_M - r_f) = 0.03 + 0.497 \times (0.09 - 0.03) = 0.06\\$$

  与已知条件中的期望回报率相等, 因为CAPM的理论体系保证了必然会得到这样的结果