第08讲 期望效用理论

8.1 从CAPM到一般均衡定价

1. CAPM的推理思路与局限性: CAPM基于均值-方差偏好, 推导投资者最优资产持有方式和均衡时资产价格特性, 但其对真实世界资产回报率解释力不强, 因为它存在两个主要问题: 一是均值-方差偏好不完备, 且效用函数定义在回报率上缺乏合理性, 同时忽略了随机变量高阶矩信息；二是CAPM是静态的部分均衡模型, 无法分析投资决策的动态情形以及资产市场与宏观经济其他部分的联动

• 均值-方差偏好不完备

  • 偏好的完备性是指任何两种选择都能排序; 传递性是指排序关系能成优劣逻辑

  • 均值方差偏好在一个均值和方差比另一个的都大时就无法判断谁好谁坏了

• 随机变量高阶矩信息

  对于任何一个随机变量 都可以定义其 阶矩为

  $$E(x-c)^k$$

  • 随机变量的均值是它的一阶原点矩 , 方差是它的二阶中心矩

  • 仅用均值和方差来比较随机变量, 则会丢失随机变量的三阶矩(偏度 skewness)、四阶矩(峰度 kurtosis) 及更高阶矩的信息

  • 可以看一个例子:

    

    这里的 和 的均值和方差一样, 但 更加右偏, 以均值-方差中投资者的效用函数来衡量, 这两者时一样的, 但投资者不会认为它们两个相同

• CAPM是静态的部分均衡模型: 静态是指CAPM只考虑第1期的优化问题, 无法用来分析投资决策在多期内连续做出, 且不同期决策之间相互影响的动态清醒; 部分均衡是指, CAPM只考虑资产市场这一个市场的均衡, 而完全不考虑资产市场怎样与宏观经济的其他部分联动

  所以CAPM时难以回答无风险利率与系统性风险是怎样决定各类资产回报率与投资者偏好、经济中资源禀赋的关系

1. 改进方向与C-CAPM: 为深入理解投资者行为、金融市场运行和资产价格决定等问题, 需要在一般均衡框架下展开分析, 改进CAPM的第一个方向是优化投资者偏好假设, 构建更合理的偏好理论体系；第二个方向是对金融资产和市场进行合理抽象, 构建便于分析的理论描述

   这两个方向的改进将引领我们走向基于消费的资本资产定价模型（C-CAPM）, 这是一个基于更合理偏好假设的一般均衡定价理论体系

8.2 风险状况下的选择理论—期望效用

8.2.1 引子: 圣彼得堡悖论

• 提出悖论: 18世纪初期, 尼古拉斯·伯努利提出圣彼得堡悖论:

  该赌局规则为抛公平硬币, 若正面则参与者获1元且赌博结束, 若反面则可继续抛, 第2次抛得正面获2元, 以此类推, 若第n次抛得正面可获 元

  经计算, 此赌局期望回报无穷大, 但实际上人们并不愿意为参与这个赌局支付高额费用, 这表明不确定性结果的数学期望并非人在风险下决策的唯一考虑因素

• 解释悖论: 丹尼尔·伯努利认为人看重的是不同可能性下效用的期望, 且效用存在边际效用递减现象

  他用对数效用来衡量该赌局带来的效用, 计算得出期望效用为 , 所以他愿意为这个赌局支付的进门费只有 元

  这种计算效用期望的方法与现在的期望效用理论一致, 不过直到200多年后, 期望效用理论体系才由冯·诺依曼与摩根斯坦完整搭建起来

8.2.2 偏好与效用

1. 商品束与选择集: 在确定性情况下, 人需要对不同的商品束做出评价

   商品束是由多种商品组成的组合, 例如“2个苹果和1个梨”以及“1个苹果和2个梨”就是两个不同的商品束

   用数学语言表示, 若约定商品束中各商品数量的位置顺序, 这些商品束可表示为相应的向量形式

   所有可能的商品束组成的集合就是选择集, 用 表示, 若商品束维度为 , 则

2. 偏好关系: 以符号“ ”代表某人对两种不同选择的偏好关系, 表示在某人看来 至少不比 差

   理性偏好需满足完备性与传递性两个条件: 完备性指对任意两种选择, 人都能进行比较, 即对任意 , , 与 至少有一个成立；传递性指如果甲不比乙差, 乙又不比丙差, 那么甲就一定不比丙差, 即对任意 , , , 若 与 , 则必有 成立

3. 效用函数: 理性偏好如果还满足连续性条件, 就可以用一个连续的效用函数来描述

   连续性指一种偏好关系在极限下也能保留, 即如果对一系列 有 , 那么对于 与 必有

   满足理性与连续性的偏好, 必然可以用一个连续函数 来表示, 即当 时, 必然有

8.2.3 期望效用理论

将确定性状况下的偏好和效用理论拓展到不确定性状况, 包含三步:

1. 不确定性状况下选择对象的模型化: 在不确定性状况下, 人最终得到的商品束是随机的

   用彩票概念来描述, 简单彩票 是一串数字 , 其中 为第 种结果出现的概率, 且 ,

   复合彩票是把简单彩票以一定概率再次组合, 其可转化为简单彩票形式

   最终把简单彩票作为人在不确定性状况下的可选对象, 所有可选简单彩票组成的集合叫彩票空间, 标记为

2. 人在面对不确定性时的偏好描述: 要求人对彩票空间中的选择对象有理性偏好（满足完备性和传递性）, 在理性和连续性条件下, 人在彩票空间中的偏好可用一个效用函数表达, 但形式未知

   为给效用函数形式施加更多限制, 引入独立性公理

   独立性公理指如果对任意3张彩票 、 和 , 以及任意 到 之间的数 , 总是成立, 那么对彩票的一种偏好关系满足独立性公理

3. 用效用函数表达偏好: 冯·诺依曼与摩根斯坦证明, 若在理性与连续性之外, 再加上独立性公理, 效用函数就有期望效用这种特殊函数形式

   即满足理性、连续性以及独立性公理的偏好可以表示为期望效用形式 , 这样的效用函数被称为冯·诺依曼 - 摩根斯坦效用函数（vNM效用函数）

   利用期望效用可对不同不确定性状况排序, 不同人因偏好不同（效用函数不同）对同样的两种不确定性状况排序不同

   此外, 还存在不依赖于人的偏好的对不确定性状况的排序方法, 如随机占优, 但不是所有不确定性状况间都存在这种关系, 不存在时就需利用人的偏好（效用函数）来排序

8.2.4 阿莱悖论

对期望效用理论中独立性公理的反驳:

• 阿莱悖论的提出: 阿莱于1953年提出阿莱悖论, 通过两组彩票选择来展示:

  第一组彩票 表示确定地获得50万元, 表示有10%的概率获得250万元、89%的概率获得50万元、1%的概率什么也没有, 人们一般认为 优于

  第二组彩票 表示有11%的概率获得50万元、89%的概率什么也没有, 表示有10%的概率获得250万元、90%的概率什么也没有, 人们一般认为 优于

• 对独立性公理的违背验证: 由于独立性公理（加上理性与连续性后）等价于期望效用函数, 用期望效用函数验证发现上述选择结果违反了独立性公理

  由第一组选择 , 左右两边加上 , 可得 , 这表明人们应该认为 优于 , 与实际选择矛盾

• 对阿莱悖论的回应: 对阿莱悖论通常有四种回应。一是认为在阿莱悖论中, 人的选择不理性；二是阿莱悖论涉及非常接近0或1的概率, 不具有普遍性；三是在理论中加入“后悔”因素；四是放弃独立性公理, 构建更弱的理论

  目前期望效用理论仍是研究不确定性状况下人的行为的主要工具, 因为新理论在简便性上都还未超过它

8.2.5 展望理论

• 期望效用理论的局限: 期望效用是将效用定义在结果而非回报之上, 它忽略了投资者的初始财富状况, 认为不管投资者初始财富是多少, 相同的最终财富和消费水平会带来相同的效用

  例如甲去年有1万元今年有10万元, 乙去年有100万元今年只有10万元, 按期望效用理论他们今年的效用一样, 但实际上甲应该比乙更幸福, 乙会因失去90万元而懊悔, 这说明期望效用理论存在缺陷

• 展望理论的提出: 卡内曼与特维尔斯基于1979年提出展望理论

  该理论认为, 失去一笔钱带来的效用损失幅度比得到同一数额的钱带来的效用增进幅度更大(损失厌恶), 在定义效用时, 应把当前的状况与某个基准做比较

• 展望理论的效用变化: 展望理论的效用曲线在当前财富水平（作为比较的基准）处有明显的弯折, 效用的变化对损失更为敏感

  

  这意味着人们在面对收益和损失时, 心理感受和决策行为是不同的, 相比获得收益, 人们对损失更加在意

8.3 风险厌恶程度的度量

在均值-方差分析中, 假定投资者不喜欢波动, 其背后的思想是认为投资者厌恶风险, 其原因及不同投资者的差异决定了人面对风险时的行为, 因而会影响到资产的价格, 所以在构建了期望效用的框架后, 一个自然的延伸就是讨论对风险厌恶程度的度量

8.3.1 图解风险厌恶程度

• 效用函数与风险厌恶的直观展示：通过绘制两根不同的效用函数曲线 与 , 其中 对应的曲线曲率更大（更加弯曲）, 来分析消费者的风险厌恶程度

  假设消费者的消费存在不确定性, 有50%的可能性获得 , 50%的可能性获得 , 尽管期望消费为 , 但由于不确定性, 他们的效用低于 与 , 只能分别达到 与 的水平

  

• 确定性等值与风险溢价：通过公式 与 , 可以找出与不确定性消费效用相等的确定性消费水平 与 , 即确定性等值

  从图中可以看出 与 均小于 , 它们与 之间的距离就是消费者愿意为消除不确定性而牺牲的期望消费, 也就是消费者愿意支付的风险溢价

  由于 的曲线曲率更大, 所以 , 这表明效用函数为 的消费者为了消除不确定性, 愿意牺牲更多消费

• 风险厌恶程度的衡量指标：风险溢价可用来衡量消费者的风险厌恶程度, 风险溢价越大, 风险厌恶程度越高

  但这种形式的风险溢价与期望消费量以及消费的波动幅度 都有关, 使用起来不方便

  而风险厌恶程度与效用函数的弯曲程度有关系, 这为构造衡量风险厌恶程度的指标提供了思路, 后续将介绍基于此的绝对风险厌恶系数和相对风险厌恶系数

8.3.2 绝对风险厌恶系数

1. 投资场景设定：假设对一个拥有财富水平 的投资者提供一项投资, 该投资以 的概率赢得数额为 的货币, 或以 的概率输掉数额为 的货币, 且 是一个很小的数

   显然, 投资者是否参与这项投资与 的大小密切相关, 越大, 愿意参与的投资者越多, 当 时, 所有人都会参与

2. 临界值 的定义：定义 为使得投资者在参与和不参与投资之间完全无差异的临界值, 可被视为对投资者风险厌恶程度的一个度量。根据定义, 有

3. 泰勒展开与推导：将 与 在 处做泰勒展开, 并略去高阶余项, 得到 和

   将其代入 , 经过整理可得 , 进而解出

4. 绝对风险厌恶系数的定义：定义 为绝对风险厌恶系数, 也被称为阿罗 - 普拉特绝对风险厌恶系数（ARA）

   绝对风险厌恶系数 越大, 为吸引投资者参与投资, 就需要越高的获胜概率, 即投资者的风险厌恶程度越高

8.3.3 相对风险厌恶系数

另一个衡量风险厌恶程度的重要指标—相对风险厌恶系数:

1. 投资假设变更：在推导绝对风险厌恶系数时, 假设输赢的数量与投资者的财富规模无关；而推导相对风险厌恶系数时, 假设输赢的数量是投资者财富的一个固定比例

   对一个拥有财富水平 的投资者提供一项投资, 该投资以 的概率赢得数额为 的货币, 或以 的概率输掉数额为 的货币, 这里假设 是一个很小的数

   同样定义 为使得投资者在参与和不参与投资之间完全无差异的临界值, 此时公式为

2. 泰勒展开与整理：将 与 在 处做泰勒展开, 并略去二阶以上的高阶余项, 可得 和

   将这两个式子代入 , 经过整理可得

3. 相对风险厌恶系数的定义：从中解出 , 进而定义 为相对风险厌恶系数, 又被称为阿罗 - 普拉特 - 德菲内特相对风险厌恶系数（RRA）

8.3.4 几种常见的效用函数

前文推到的风险厌恶系数时, 假设风险投资项目的规模都不大, 在这样的假设下通过泰勒展开, 略去了高阶余项后才推出了风险厌恶系数的形式, 这也就意味着我们得到的两个风险厌恶系数是效用函数的 “局部” 属性, 也就是说在不同的财富水平上, 投资者的风险厌恶程度可能不同, 而现实中分析的风险资产的规模不肯能非常小, 这时就要用风险厌恶程度表现出“全局”的一致性(不需要随时跟踪投资者的财富水平)的效用函数:

1. CARA(constant absolute risk aversion) - 绝对风险厌恶不变型：

   其效用函数形式为

   $$u(c)= - e^{-\alpha c}$$

   对应的绝对风险厌恶系数为

   这意味着无论投资者的财富水平如何变化, 其绝对风险厌恶程度保持不变

   在这种效用函数下, 投资者对风险的态度不随财富的增减而改变, 对于每增加一单位风险, 所要求的风险补偿是固定的

2. CRRA(constant relative risk aversion) - 相对风险厌恶不变型：

   效用函数为

   $$u(c)=\frac{c^{1 - \gamma}-1}{1 - \gamma}$$

   对应的相对风险厌恶系数为

   当 时, 该效用函数退化为对数效用函数 (在经济学中, 常把 写成 )

   CRRA型效用函数在经济与金融分析中应用广泛, 因为它较好地反映了现实中投资者的偏好特征, 即相对风险厌恶程度不随财富变化而变化, 例如, 在不同财富水平下, 投资者对风险资产和无风险资产的配置比例相对稳定

3. HARA(hyperbolic absolute risk aversion) - 双曲绝对风险厌恶型：这种效用函数对应的绝对风险厌恶系数为

   $$R_{A}(c)=-\frac{u''(c)}{u'(c)}=\frac{1}{ac + b}$$

   解此微分方程, 并舍弃解中的常数项和系数, 可得对应的效用函数形式为 , 其中 ,

   当 时, HARA效用函数退化为CARA效用函数；当 时, 退化为CRRA效用函数；当 时, 退化为二次型效用函数

   HARA效用函数涵盖了多种常见的效用函数形式, 具有更广泛的适用性, 可以根据不同的参数设定来描述不同投资者的风险偏好

4. 线性效用函数（风险中性）：

   表达式为

   $$u(c)=\alpha c$$

   其中 为大于0的常数, 由于 , , 所以其绝对风险厌恶系数和相对风险厌恶系数都为0

   这表明风险中性的投资者对风险持中立态度, 他们只关注投资的期望回报, 而不考虑风险的大小

   在投资决策中, 他们会选择期望回报率最高的投资, 而不会因为风险的存在而要求额外的补偿

8.4 作为期望效用特例的均值-方差偏好

在两种特殊的情况下, 期望效用表消除均值-方差的偏好特性(即投资者只关注均值和方差)

这两种特殊情况分别为二次型效用函数, 以及回报服从正态分布时的CARA效用函数, 所以, 可以说均值-方差偏好是期望效用的一个特例

自然地, 建立在均值-方差分析之上地结论, 也就是构筑于期望效用之上地金融理论的特例

8.4.1 二次型效用

二次型效用函数可以写为

$$u(c) = c - Ac^2$$

其中, 为消费量, A为一个正的常数, 其期望效用为

$$\begin{aligned} E[u(c)] &= E(c - Ac^2)\\ &= E(c) - AE(c^2)\\ &= E(c) - A[E^2(c)] - Avar(c)\\ &= [1 - AE(c)]E(c) - Avar(c) \end{aligned}$$

8.4.2 CARA效用函数与正态分布的回报

对数正态分布的性质:

如果

$$z = \ln x \sim N(\mu, \sigma^2)$$

那么

$$E(e^z) = E(x) = e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2}$$

• 在 服从正态分布的情况下, 随机变量 服从对数正态分布, 记为 , 对数正态分布的期望

  这里可以给出证明(这也是附录8.B的内容):

  如果 , 那么

  证明:

  $$\begin{aligned} E(Y) &= E(e^X) = \int_{-\infty}^{\infty} e^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} dx \overset{t = x-\mu}{=} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\mu + t} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2 \sigma^2}} dt\\ &= e^\mu \int_{-\infty}^{\infty} e^{t} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2 \sigma^2}} dt = e^\mu \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{t-\frac{t^2}{2 \sigma^2}} dt = e^\mu \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{\frac{2 \sigma^2t -t^2 - \sigma^4 + \sigma^4}{2 \sigma^2}} dt \\ &= e^\mu \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(t - \sigma^2)^2 + \sigma^4}{2 \sigma^2}} dt = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(t - \sigma^2)^2 }{2 \sigma^2}} dt \\ &\overset{u = t - \sigma^2}{=} e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{u^2}{2 \sigma^2}} du = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \end{aligned}$$

假设投资者的效用函数是CARA型, 即 , 那么期望效用为:

$$E[u(c)] = E(-e^{-\alpha c}) = - e^{- \alpha E(c) + \frac{1}{2}\alpha^2 var(c)}$$

因为指数函数单调递增, 且 是一个不为0的常数, 所以最大化上式中的期望效用等价于最大化:

$$E(c) - \frac{1}{2} \alpha var(c)$$

这就是在证明 CAPM 定价方程时用到的效用函数形式

证明CAPM定价方程中所给出的效用是定义在回报率之上的, 而这里给出的期望效用是定义在最终消费上的, 这一点在初始财富给定, 且消费占财富的比例保持不变的前提下, 最大化未来消费与最大化回报率是等价的

附录8.A 随机占优

1. 二阶随机占优：

   在均值 - 方差分析基础上进行概念扩展, 若一个随机变量加上期望为0的另一个随机变量后, 新变量与原变量期望相同但波动更大, 则新变量是原变量的保均展形

   其严格数学定义为, 随机变量y是随机变量x的保均展形, 当且仅当存在一个随机变量z使得y = x + z, 且对任意x的实现值都有E(z|x)=0

   基于保均展形, 若一个随机变量是另一个随机变量的保均展形, 那么后者二阶随机占优于前者, 例如, 假设有随机变量x与z, x有50%概率取值4、50%概率取值1, z有50%概率取值 + 1、50%概率取值 - 1, x + z得到的新随机变量y风险更大, 此时x二阶随机占优于y

   直观地说, 保均展形会让随机变量的概率密度看上去更为平展

   

2. 一阶随机占优：

   比二阶随机占优更强的概念, 设 与 分别代表两个随机变量的累积分布函数, 如果对所有可能的实现值x都有FA(x)≤FB(x) , 那么 一阶随机占优于

   通过累积分布函数就能很直观地看出来, 由于 把更多的可能留给了更大的实现值, 因此会更受青睐

   

3. 随机占优与投资者偏好：

   两个结论:

   • 对于所有效用函数 , 当且仅当 时, 一阶随机占优于

     即如果存在一阶占优的关系, 所有人都会选择一阶随机占优的随机回报

   • 对于所有凹的()效用函数 , 当且仅当 时, 二阶随机占优于 , 即所有风险厌恶的人都会选择二阶随机占优的随机回报

     即如果存在二阶随机占优的关系, 所有风险厌恶的人都会选择二阶随机占优的随机回报

     这里用一个图给出一些直觉:

     

     如果效用函数为凸函数, 更大的风险会带来更高的期望效用

   若两个随机回报之间既不存在一阶随机占优, 也不存在二阶随机占优关系, 则需计算期望效用并了解更多偏好信息才能决策