第10讲 求解完备市场中的一般均衡

前文，我们基于均值-方差偏好首先讨论了投资者最优组合选择问题。接着分析了在所有投资者都按最优组合来行事的前提下，市场达到均衡时资产价格的特性：CAPM中的证券市场线(SML)。

我们在一般均衡框架下对资产定价的分析沿着类似的思路展开：首先介绍了期望效用理论，这是一个比均值-方差更为普适的风险下偏好的理论（均值-方差不过时期望效用的一个特例）。

在这一讲，会进入一般均衡，分析最优化的消费者怎样在资产市场中互动，进而决定资产价格。在运用均衡定价理论时，我们一般不需要把均衡价格求出来，通常的做法是给出均衡需要满足的条件（如消费者的优化一阶条件），再利用这些条件来讨论均衡的性质。

10.1 资产市场

简化假设

• 经济中只有一种不可储存的商品可用作消费

• 经济中没有生产活动，所有消费品都以禀赋的形式外生给定

10.1.1 不确定性的模型描述

我们先研究静态问题，即消费者只做一次决策，相应的，这里我们做出以下假设：

• 只有两个时期：今天（0期）、未来（1期）

• 未来（1期）的每一种可能情形都定义为一个状态(state)，并以 来表示

• 未来共有 种可能（ 是一个有限的数），用 来表示所有可能状态组成的集合

• 状态 发生的概率为 ，这个由外生给定，

• 所有状态发生概率组成的集合 称为概率测度

• 当我们把不确定性用 种状态描述出来后，一个随机变量就可以被看成一个 维向量，向量的第 个元素就是这个随机变量在 这个状态下的取值

• 所以，一个风险资产的回报率既可以写成我们之前写过的形式 ，也可以写成向量的形式，如

10.1.2 资产及其支付

一项资产是一份对未来支付的索取权。其在第1期带来的支付的数量取决于具体发生的状态，记 为资产在第1期状态 中的支付。这样一来，一项资产 就由它在各个可能状态下的支付来定义，可以写成如下 维列向量的形式，其中每个元素代表资产在某个状态下实现的支付：

$$\mathbf{x}^j = \begin{bmatrix} x_1^j\\ \vdots\\ x_S^j \end{bmatrix}$$

假设市场中共有 种可交易的资产，将这些资产的支付向量排在一起，就形成了描述整个资产市场的支付矩阵：

$$\mathbf{x} = [\mathbf{x}^1,\mathbf{x}^2,\cdots,\mathbf{x}^J] \triangleq \begin{bmatrix} x_1^1 & x_1^2 & \cdots & x_1^J \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_S^1 & x_S^2 & \cdots & x_S^J \\ \end{bmatrix}$$

矩阵中元素的下标的代表状态，上标代表资产。

10.1.3 资产组合

对各类资产持有量组成的向量 叫作一个资产组合，其中第 个元素代表对第 类资产持有的数量，资产组合本身又是一个资产组合，其在各个状态下的支付为：

$$\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^Jx_1^j\theta_j\\ \vdots\\ \sum_{j=1^J}x_S^j\theta_j\\ \end{bmatrix}$$

记所有 中资产在第0期的价格（以第0期的消费品为计价物）为

$$\mathbf{p} \triangleq [p_1,p_2,\cdots,p_J]$$

则组合 在第0期的价格为

对资产的支付和价格的一些说明：前文说过，在资产定价理论中，我们研究的是在给定未来支付的前提下，给资产定出现在的价格，用本节的数学语言来说，资产定价理论研究的是在给定支付矩阵 的前提下，确定资产当前的价格

10.2 完备市场和阿罗-德布鲁市场

10.2.1 完备市场

10.2.1 完备市场（Complete Market）

• 定义10.1：如果任何一个1期的消费加护都可以通过某个资产组合来实现，我们称一个资产市场 是完备的

• 数学描述：

  给定支付矩阵 （ 矩阵， 为状态数， 为资产数），若对于任意消费计划 ，存在组合权重 ，使得：

  $$\mathbf{x} \boldsymbol{\theta} = \mathbf{c}$$

  则称该市场为完备市场

  这个方程组未必一定有解，如果资产的数目 还不如状态的数目 多，那么方程数目就多于未知数的数目，方程组就无解。所

• 必要条件：

  • 资产数目 （状态数）。

  • 支付矩阵 的秩（rank）等于状态数 ，即 。

• 线性方程组解的存在性：
  • 对于任意 ，方程组 有解。
  • 若 是方阵且可逆（行列式非零），则市场完备。
• 示例：
  • 例1（）： $$\mathbf{x} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} \right]$$
    • 行列式 ，可逆，市场完备。
    • 解为 ，。
  • 例2（，非满秩）： $$\mathbf{x} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right]$$
    • 行列式 ，不可逆，市场不完备。
    • 仅当 时方程组有解。
  • 例3（，含无风险资产）： $$\mathbf{x} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right]$$
    • 行列式 ，可逆，市场完备。
    • 解为 ，，。

从经济学和数学两个角度来理解：

• 从经济学意义上来说，完备市场满足

  • 资源配置灵活性：消费者可通过资产组合在任意状态间转移资源。
  • 风险分散：完备市场允许最优风险分担，提升社会整体福利。
  • 定价基础：完备市场中，资产价格由状态价格唯一确定（见10.2.2阿罗-德布鲁市场）。

• 从数学上来看，资产市场 满足：

  • 满秩性：支付矩阵的秩决定市场是否完备。
  • 资产数目要求：至少需要 种线性无关的资产。
  • 与阿罗-德布鲁市场的关系：所有完备市场等价于阿罗-德布鲁市场（通过线性组合）。

10.2.2 阿罗-德布鲁市场与阿罗证券

10.2.2 阿罗-德布鲁市场（Arrow-Debreu Market）

• 阿罗-德布鲁市场：一种完备市场，其中每种资产仅在一种状态中有1的支付，即支付矩阵为单位矩阵（对角线元素为1，其余为0）。

• 阿罗证券（Arrow Security）：阿罗-德布鲁市场中的资产

  • 仅在某一状态 下支付1单位消费品，其他状态支付为0。

  • 支付向量为单位矩阵的第 列：

    $$\mathbf{I}_s = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right] \quad \text{（第 } s \text{ 行元素为1）}$$

• 状态价格：阿罗证券的价格的专门的名称，因为它给出了第1期某个状态下1单位支付在第0期的价格

  将阿罗证券在当前（第0期）的价格，记为 ，则所有阿罗证券的价格可以合起来写成：

  $$\boldsymbol{\varphi} = (\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_S)$$

• 资产定价与阿罗证券：由于任何一个资产都可以表示成阿罗证券的一个组合，因此知道了所有阿罗证券的价格，就知道了所有资产的价格

  比如支付向量为 的资产 ，用阿罗证券构造资产 的组合就为 ， 所以资产 当前的价格就为：

  $$p_j = \boldsymbol{\varphi}\mathbf{x}^j = \sum_{s=1}^S \varphi_sx_s^j$$

  所有 种资产的价格向量可写为：

  $$\mathbf{p} = \boldsymbol{\varphi} \mathbf{x} = \left[ \sum_{s=1}^S \varphi_s x_s^1, \dots, \sum_{s=1}^S \varphi_s x_s^J \right]$$

  反过来，如果我们知道了完备市场种 种线性无关的资产的价格，就可以找出所有阿罗证券的价格为

  $$\boldsymbol{\varphi} = \mathbf{p}\mathbf{x}^{-1}$$

• 无风险资产：各个状态中支付都为1的资产，支付向量应该写成

  $$\mathbf{I} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right]$$

  如果记无风险资产在第0期的价格为 ，它必然等于所有阿罗证券的价格之和：

  $$\rho =\boldsymbol{\varphi} I =\boldsymbol{\varphi} \cdot \mathbf{1} = \sum_{s=1}^S \varphi_s$$

• 示例：

  • 例1：两状态市场中的阿罗证券
    • 状态价格 。
    • 资产支付向量 ，其价格为： $$p_j = 2\varphi_1 + 3\varphi_2$$
  • 例2：无风险资产价格
    • 若 ，则无风险资产价格为： $$\rho = 0.4 + 0.5 = 0.9$$

• 用一个表格梳理一下

  | 要点 | 说明 |
  |——————————|———————————————————————————————————|
  | 阿罗证券 | 仅在单一状态支付1单位，支付矩阵为单位矩阵。 |
  | 状态价格 | 阿罗证券的当前价格，反映市场对各状态的风险调整后价值。 |
  | 资产价格公式 | ，由状态价格加权求和得到。 |
  | 无风险资产 | 价格为所有状态价格之和 。 |

10.3 完备市场中的均衡

目前我们有了对时间（贴现因子 ）、不确定性（期望效用）、资产市场（完备市场）的模型描述，也有了描述人在不确定性状况下选择方式的期望效用理论，接下来，我们把这些东西组合进一般均衡的框架，研究金融均衡。把注意力暂时集中在完备市场上，即假设市场是完备的。

10.3.1 消费者偏好和禀赋

假设消费者具有如下 vNM 效用函数：

$$u(c_0) + \delta\sum_{s=1}^S \pi_s u(c_s)$$

其实就是之前看过的效用函数

$$u(c_0) + \delta E[u(c_1)]$$

下标0表示在第0期， 的下标 代表在第1期的第 种状态，更严谨的记法是

可以假设不同消费者有不同的贴现因子，甚至对未来各种状态的发生概率有不同的判断，这样一来消费者的效用函数可以写为

$$u_k[c_0(k)] + \delta_k\sum_{s=1}^S \pi_s k u_k [c_s(k)]$$

其中 是不同消费者的标识，即使在这样宽泛的设定下，都可以利用一般均衡的方法加以分析，但是如果不同消费者对未来概率的判断不同，处理起来会尤其困难，因此，为了简化分析，金融分析一般假设消费对未来的各种可能状态发生的概率有共同的信念

还需要对消费者的禀赋做出假设：假设消费者在第0期有消费品禀赋 ，在第1期的第 状态下有禀赋 ，由于我们假设消费品是不能储存的，所以消费者无法将第0期的消费品直接储存到第1期进行消费，消费者如果想在两期之间做消费品的转换，只能通过资产的买卖来实现。

还假设资产市场中存在 种资产可供消费者买卖，并且消费者在第0期对第 种资产的初始持有量为

10.3.2 均衡求解

消费者的优化问题就是选择对所有 种资产的持有量 来最大化其期望效用。为了简化符号，在如下推到中略去用以标识消费者的下表 ，消费者的优化问题可以写为：

$$\begin{aligned} \underset{\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_J}{\max} &u(c_0) + \delta\sum_{s=1}^S \pi_s u(c_s)\\ s.t. \quad & c_0 = e_0 - \sum_{j=1}^J p_j\theta_j\\ & c_s = e_s + \sum_{j=1}^J x_s^j\theta_j, \quad s = 1,2,\cdots,S \end{aligned}$$

其中 是概率，即公共认知； 为消费； 是将消费转化为效用； 为禀赋，分别为第0期和第1期 个状态中消费品禀赋； 为贴现率； 为资产价格； 为以价格 换取的回报

简单解释一下这几个公式的意思：整个最优化的目标为两期效用总和，由 表示，操作是通过在第0期减少消费以换取第1期的消费增长，表现为以第0期 的消费减少换取第1期 的消费增加

做完说明之后，再来看优化问题，由于我们讨论的是完备市场，所以消费者对 中资产的组合选择问题可以简化为对 种阿罗证券的选择，这样消费者的优化问题可以改写为：

$$\begin{aligned} \underset{\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_J}{\max} &u(c_0) + \delta\sum_{s=1}^S \pi_s u(c_s)\\ s.t. \quad & c_0 = e_0 - \sum_{s=1}^S \varphi_s\theta_s\\ & c_s = e_s + \theta_s, \quad s = 1,2,\cdots,S \end{aligned}$$

其中 ，因为在状态 中只有第 个阿罗证券有单位1的回报，即当且仅当 时

注意，这里有一点记号混用，在之前的优化问题中， 代表消费者对市场中存在的 种资产的选择量，而在转化后的优化问题中， 则代表对 种阿罗证券的选择量。将第1期的预算约束代入第0期的预算约束中，消去所有的 ，消费者的优化问题可改写为

$$\begin{aligned} \underset{\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_J}{\max} &u(c_0) + \delta\sum_{s=1}^S \pi_s u(c_s)\\ s.t. \quad & c_0 + \sum_{s=1}^S \varphi_s(c_s - e_s) = e_0\\ \end{aligned}$$

这一步比较重要，在之后的计算中会直接略去这一步，如果看不懂之后计算中的的预算约束可以回来看一下这一步：

$$\left\{ \begin{aligned} c_0 &= e_0 - \sum_{s = 1}^S \varphi_s \theta_s\\ c_s &= e_s + \theta_s, \quad, s = 1,2,\cdots,S \end{aligned} \right. \Rightarrow c_0 + \sum_{s = 1}^S \varphi_s(c_s - e_s) = e_0$$

上式就是在完备市场中消费者决策问题的通常形式，构建拉格朗日函数为：

$$\mathcal{L} = u(c_0) + \delta\sum_{s=1}^S \pi_s u(c_s) + \lambda[e_0 - c_0 - \sum_{s=1}^S \varphi_s(c_s - e_s)]$$

其一阶条件为

$$\begin{aligned} & \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_0} = 0 : \ u'(c_0) = \lambda \\ & \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_s} = 0 : \ \delta \pi_s u'(c_s) = \lambda \varphi_s , s = 1, \cdots , S\\ \end{aligned}$$

将一阶条件代入预算约束 可得

$$u'^{-1}(\lambda) + \sum_{s=1}^S \varphi_s[u'^{-1}(\frac{\lambda \varphi_s}{\delta \pi_s}) - e_s] = e_0$$

这是一个只包含拉格朗日乘子 的方程， 因而可以从中解出 , 将其代入一阶条件， 即可求出消费者的阿罗证券组合选择，它是阿罗证券的价格的函数

只需要将前文中求出的消费者的组合选择（阿罗证券价格的函数）再代入市场出清条件，就能求出阿罗证券的价格，这样消费者的组合选择和消费也就都能确定下来，也就完全求出了均衡

下一节用一个具体算例来展示求取均衡的全过程，现在先观察前文的一阶条件：

$$\left\{ \begin{aligned} & u'(c_0) = \lambda\\ & \delta \pi_s u'(c_s) = \lambda \varphi_s \\ \end{aligned} \right . \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & \frac{\delta \pi_s u'(c_s)}{u'(c_0)} = \varphi_s\\ & \frac{\pi_s u'(c_s)}{\pi_{s'} u'(c_{s'})} = \frac{\varphi_s}{\varphi_{s'}} , s' \in [1,S]\\ \end{aligned} \right.$$

这意味着阿罗证券的价格与对应状态发生的概率，以及消费者再这一状态中的边际效用成正比。

10.4 均衡算例

这一节用一个算例来展示求取一般均衡的过程，先把求取一般均衡的过程做一个小结，这个过程分成两步：

• 第一步，把所有价格当成给定，求取所有消费者的优化问题，这可以把消费者的行为（消费、储蓄、资产组合构成）表示为价格的函数。

• 第二步，把消费者的行为代入各个市场的出清条件，从而得到只包含价格的方程组。从这个方程组中能够求得均衡的价格，有了价格，消费者的行为也就确定下来，这样，均衡中的所有变量也就确定下来了。

10.4.1 条件

先看这个算例的前提条件。研究一个静态问题，模型中只有第0期和第1期两个时期，消费者的决策发生在第0期。

• 状态： 在第1期有 和 两个可能的状态，发生的概率各为 50\% 。

• 资产： 市场中由两种资产。一种是无风险资产，它在两个状态中都有1的支付，另一种是有风险的股票，它在状态 中的支付为 0.5，在状态 中的支付为2.用支付矩阵来描述，这个资产市场可以写成（第1列代表无风险资产，第2列代表股票）：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0.5\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$

• 消费者： 经济中有两个消费者。消费者1的即期效用函数为 ；消费者2的即期效用函数为 （相对风险厌恶系数为 的CRRA型效用函数）。为了简化，假设两位消费者的主观贴现因子都为 1 ()。消费者的两栖总效用就是其两期期望效用之和。

• 禀赋： 消费者1在第0期拥有1单位消费品，消费者2在第0期拥有1单位股票。

容易知道这是一个完备资本市场，因此，可以构造阿罗证券，假设状态 和 对应的状态价格（阿罗证券价格）分别为 与 ，那么消费者1与消费者2在第0期的财富（以第0期消费品为计价物）分别为1与

10.4.2 消费者1的优化问题

消费者1仅在第0期拥有1单位消费品的禀赋，所以消费者两期总财富在第0期的现值为1。消费者的优化问题可写为

$$\begin{aligned} \underset{c_{1,0},c_{1,a},c_{1,b}}{\max} & \ln c_{1,0} + \frac{1}{2} \ln c_{1,a} + \frac{1}{2}\ln c_{1,b}\\ s.t. \quad & c_{1,0} + \varphi_a c_{1,a} + \varphi_b c_{1,b} = 1 \end{aligned}$$

构建拉格朗日函数，并求一阶条件得

$$\begin{aligned} &\mathcal{L} = \ln c_{1,0} + \frac{1}{2} \ln c_{1,a} + \frac{1}{2}\ln c_{1,b} + \lambda_1(1 - c_{1,0} - \varphi_a c_{1,a} - \varphi_b c_{1,b})\\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{1,0}} = 0: \quad \frac{1}{c_{1,0}} = \lambda_1 \\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{1,a}} = 0: \quad \frac{1}{2c_{1,a}} = \lambda_1 \varphi_a \\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{1,b}} = 0: \quad \frac{1}{2c_{1,b}} = \lambda_1 \varphi_b\\ \end{aligned}$$

将一阶条件代入预算约束，有

$$\frac{1}{\lambda_1} + \varphi_a \frac{1}{2\lambda_1 \varphi_a} + \varphi_b \frac{1}{2\lambda_1 \varphi_b} = 1$$

从中解出 ，所以

$$c_{1,0} = \frac{1}{2}, \quad, c_{1,a} = \frac{1}{4\varphi_a}, \quad, c_{1,b} = \frac{1}{4\varphi_b}$$

10.4.3 消费者2的优化问题

消费者2在第0期有1单位股票的禀赋，股票1在 和 两个状态下分别会带来0.5和2的支付，这样，消费者2的第0期财富现值为 。其优化问题可写为

$$\begin{aligned} \underset{c_{2,0},c_{2,a},c_{2,b}}{\max} & 2\sqrt{c_{2,0}} + \sqrt{c_{2,a}} + \sqrt{c_{2,b}}\\ s.t. \quad & c_{2,0} + \varphi_a c_{2,a} + \varphi_b c_{2,b} = \frac{\varphi_a}{2} + 2 \varphi_b \end{aligned}$$

求解一阶条件为

$$\begin{aligned} &\mathcal{L} = 2\sqrt{c_{2,0}} + \sqrt{c_{2,a}} + \sqrt{c_{2,b}} + \lambda_2(\frac{\varphi_a}{2} + 2 \varphi_b - c_{2,0} - \varphi_a c_{2,a} - \varphi_b c_{2,b}) \\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{2,0}} = 0: \quad \frac{1}{\sqrt{c_{2,0}}} = \lambda_2 \\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{2,a}} = 0: \quad \frac{1}{2\sqrt{c_{2,a}}} = \lambda_2 \varphi_a \\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{2,b}} = 0: \quad \frac{1}{2\sqrt{c_{2,b}}} = \lambda_2 \varphi_b \\ \end{aligned}$$

将一阶条件代入预算约束，有

$$\frac{1}{\lambda_2^2} + \varphi_a \frac{1}{4 \varphi_a^2 \lambda_2^2} + \varphi_b \frac{1}{4 \varphi_b^2 \lambda_2^2} = \frac{\varphi_a}{2} + 2 \varphi_b$$

从中解出

$$\frac{1}{\lambda_2^2} = \frac{\frac{\varphi_a}{2} + 2 \varphi_b}{1 + \frac{1}{4 \varphi_a} + \frac{1}{4 \varphi_b}}$$

所以

$$\begin{aligned} c_{2,0} &= \frac{\frac{\varphi_a}{2} + 2 \varphi_b}{1 + \frac{1}{4 \varphi_a} + \frac{1}{4 \varphi_b}}\\ c_{2,a} &= \frac{1}{4 \varphi_a^2 \lambda_2^2} = \frac{\frac{\varphi_a}{2} + 2 \varphi_b}{4 \varphi_a^2 (1 + \frac{1}{4 \varphi_a} + \frac{1}{4 \varphi_b})}\\ c_{2,b} &= \frac{1}{4 \varphi_b^2 \lambda_2^2} = \frac{\frac{\varphi_a}{2} + 2 \varphi_b}{4 \varphi_b^2 ( 1 + \frac{1}{4 \varphi_a} + \frac{1}{4 \varphi_b})}\\ \end{aligned}$$

10.4.4 市场出清

由于我们假设消费品是不能储存的，所以在各个时期的状态下，两位消费者的总消费都应该等于经济中的总禀赋。第0期的消费品的来源只是消费者1所持有的1单位禀赋，所以第0期两位消费者的总消费加起来只能是1。而在第1期的 和 两个状态中，消费品仅仅来自消费者2所持有的1单位股票的支付，所以在 和 两个状态中，两位消费者的总消费只能分别为 与 2，由此可得一下方程组

$$\left\{ \begin{aligned} 1 &= c_{1,0} + c_{2,0} = \frac{1}{2} + \frac{\frac{\varphi_a}{2} + 2 \varphi_b}{1 + \frac{1}{4 \varphi_a} + \frac{1}{4 \varphi_b}} \\ \frac{1}{2} &= c_{1,a} + c_{2,a} = \frac{1}{4\varphi_a} + \frac{\frac{\varphi_a}{2} + 2 \varphi_b}{4 \varphi_a^2 (1 + \frac{1}{4 \varphi_a} + \frac{1}{4 \varphi_b})} \\ 2 &= c_{1,b} + c_{2,b} = \frac{1}{4\varphi_b} + \frac{\frac{\varphi_a}{2} + 2 \varphi_b}{4 \varphi_b^2 (1 + \frac{1}{4 \varphi_a} + \frac{1}{4 \varphi_b})} \\ \end{aligned} \right.$$

将第一个方程代入后两个方程可得

$$\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{2} &= \frac{1}{4\varphi_a} + \frac{1}{8 \varphi_a^2} \\ 2 &= \frac{1}{4\varphi_b} + \frac{1}{8 \varphi_b^2} \\ \end{aligned} \right.$$

解出

$$\left\{ \begin{aligned} \varphi_a &= \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \approx 0.81 \\ \varphi_b &= \frac{1 + \sqrt{17}}{16} \approx 0.32 \\ \end{aligned} \right.$$

所以在第0期，无风险债券的价格为 1.13()，股票价格为 1.05()

在模型中我们假设两期之间没有贴现，也就是说，两个消费者对第0期和第1期确定的一单位消费无差异，但为什么接出来的无风险利率是 -11.5\%() 而不是0？

决定无风险利率的除了消费者的时间偏好 外，还有禀赋在不同时间、不同状态下的分配。在算例中，第0期的总禀赋为1，第1期的总禀赋为 或 。其中第1期状态 中的禀赋最少，出于平滑不同时间、不同状态下消费的需要（两个消费者都是风险厌恶的），消费者有动力将资源转移到状态 来消费，要实现这一点，无风险资产是最好的。因此，消费者购买无风险资产的动力会很足，所以第0期的无风险资产价格会很高，其回报率（无风险利率）是负的。

10.5 一般均衡与部分均衡

这部分通过之前的一个算例来展示一般均衡与部分均衡在思想上的差异。

10.5.1 算例

假设某个世解中有两个聚宝盆A和B，所有投资者只能选择这两个聚宝盆作为风险资产。明天，有 可能性聚宝盆A里出现1单位消费品，而同时B里什么也没有。明天还有 的可能性聚宝盆B里出现1单位消费品，而同时A里什么也没有。假设今天到明天的无风险利率为0——今天借1单位消费品，明天还一单位消费品。
问： 聚宝盆A和B在今天的价格分别为多少？

接下来我们在一般均衡的框架下分析这个问题：

将明天聚宝盆A中出现1单位消费品的状态称为1，聚宝盆B中出现1单位消费品的状态叫作状态2。为了简化，我们假设经济中只有一位消费者，该消费者拥有对数形式的即期效用，且在今天（第0期）和明天（第1期）之间的主观贴现因子为1，则消费者两期的效用和可以写为

$$u(c_0,c_1,c_2) = \ln c_0 + \frac{1}{2} \ln c_1 + \frac{1}{2}c_2$$

假设消费者在第0期拥有1单位消费品禀赋，并持有 单位聚宝盆 ， 以及 单位聚宝盆 。如果我们以 与 来代表状态1和状态2对应的阿罗证券的价格，那么消费者在第0期的总财富（以第0期消费品为计价物）为 。 消费者的优化问题可以写为

$$\begin{aligned} \underset{c_0,c_1,c_2}{\max} & \ln c_0 + \frac{1}{2} \ln c_1 + \frac{1}{2} \ln c_2 \\ s.t. \quad & c_0 + \varphi_1c_1 + \varphi_2c_2 = 1 + \varphi_1a + \varphi_2b \end{aligned}$$

构建拉格朗日函数如下

$$\begin{equation} \mathcal{L} = \ln c_0 + \frac{1}{2} \ln c_1 + \frac{1}{2} \ln c_2 + \lambda(1 + \varphi_1a + \varphi_2b - c_0 - \varphi_1c_1 - \varphi_2c_2) \end{equation}$$

求解一阶条件为

$$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_0} &= 0: \quad \frac{1}{c_0} = \lambda \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_1} &= 0: \quad \frac{1}{2c_1} = \lambda\varphi_1 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_2} &= 0: \quad \frac{1}{2c_2} = \lambda\varphi_2 \\ \end{aligned} \end{equation}$$

解出

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} c_1 &= \frac{c_0}{2\varphi_1}\\ c_2 &= \frac{c_0}{2\varphi_2}\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$

在第0期及第1期的两个状态下，消费品市场均要出清，所以有 。将其代入一阶条件，可知均衡时阿罗证券的价格为

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \varphi_1 &= \frac{1}{2a}\\ \varphi_2 &= \frac{1}{2b}\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$

式(4) 就是聚宝盆A和B分别在第0期的价格。很显然，无风险资产（等于包含1个聚宝盆A和1个聚宝盆B的资产组合）的价格就是聚宝盆A和聚宝盆B的价格之和。如果记无风险资产在第0期的价格为 ，那么有

$$\begin{equation} \rho = \varphi_1 + \varphi_2 = \frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \end{equation}$$

10.5.2 讨论

当把1个聚宝盆A和1个聚宝盆B组合在一起的时候，就形成了无风险资产，即这个组合没有不可消除的市场风险。因此，1个聚宝盆A和1个聚宝盆B构成的组合的价格应该等于无风险资产的价格。这样一来，聚宝盆A和聚宝盆B都应该被当成无风险资产来定价。而由于我们在前文中假设无风险利率为0，所以聚宝盆A和聚宝盆B在第0期的价格应该等于期第1期的支付在第0期的期望。由于状态1和状态2发生的概率均为0.5，所以聚宝盆A和B在第0期的价格都应该是0.5。

假设无风险利率是0，即无风险资产第0期的价格是1。从式 (5) 来看，这意味着

$$\begin{equation} \begin{aligned} 1 &= \frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \\ 2ab &= a+b \end{aligned} \end{equation}$$

从式(4)可以看到，即使在这一条件成立的前提下，只要 ，聚宝盆A和B的价格就不会相等，更不会都等于0.5。于是，我们看到一般均衡的求解方法与之前的求解方法给出了不一样的结论。为什么会这样？

原因在于，之前在求解这一问题时，只考虑了资产市场部分均衡。也就是说，并没有去问：谁会愿意要聚宝盆A和B？聚宝盆A和B的供给又分别是多少？也就是我们之前并没有考虑资产的供给和需求，也未考虑资产市场供需必须要相等的问题。如果A和B的数量不相等，那么就会剩下一些不能组合成无风险资产的A或者B，这样以来，A和B都不能被视为无风险资产，其定价资产都不会是0.5。所以在CAPM分析中得到的解，其实只有在非常特殊的情况下才成立，当我们讨论两个聚宝盆价格相等时，事实上隐含假设了两个聚宝盆的供给量相等。